TAUTOLOGIA

p lub ~q - prawo wył. środka

~(p i ~q) - prawo niesprzeczności

p i p ó p - idempotentność koniunkcji

p lub q ó p - idempotentność alternatywy

p i q ó q i p - przemienność koniunkcji

p lub q ó q lub p - przemienność alternatywy

p i (q i r) ó (p i q) i r - łączność koniunkcji

p lub (q lub r) ó (p lub q) lub r - łączność alternatywy

p i (q lub r) ó (p i q) lub (p i r) - rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

p lub (q i r) ó (p lub q) i (p lub r) - rozdzielność alternatywy względem koniunkcji

~(~p) ó p - podwójna negacja

~(p i q) ó ~p lub (~q) - negacja koniunkcji (prawa de Morgana)

~(p lub q) ó ~p i (~q) - negacja alternatywy (prawa de Morgana)

p => q ó q lub (~p) - związek implikacji z alternatywą

p => q ó ~q ó ~p - kontrapozycja

[p i (p => q)] => q - reguła odrywania

 

Dowód wprost polega na tym, że uważając za prawdziwe wszystkie założenia tw. prowadzimy ciąg rozważań opartych na uprzednio udowodnionych tw. i przyjętych aksjomatach, aż dojdziemy do wniosku, że teza taka jest prawdziwa.

Dowód nie wprost polega na tym, że z koniunkcji założenia T i zaprzeczenia tezy q wyprowadzamy zaprzeczenie założenia, a następnie korzystamy z równoważności.

Dowodzenie i indukcja

Dla dowodu prawdziwości zdania p => q można posłużyć się zasadą indukcji matem. zawartej w schemacie:

Własności iloczynu kartezjan.

(AxB)Xc=Ax(BxC)

Ax(B lub C)=(AxB) lub (AxC)

(A i B)Xc=(AxC) i (BxC)

(A\B)xC=(AxC)\(BxC)

 

 RELACJE

 

Niech R<= A x A mówimy, że:

1.  R jest zwrotna ó Dla każdego aA aRa

2.  R jest symetryczna ó Dla każdego a, bA  aRb => bRa

3.  R jest przeciwsymetryczna ó Dla każdego a, bA aRb => ~ bRa

4.  R jest przechodna ó Dla każdego a, b, cA  aRb (i) bRc => aRc

5. R jest antysymetryczna ó Dla każdego a, bA  aRb (i) bRa => a=b

6.  R jest spójna ó Dla każdego a, bA  aRb (lub) bRa

 

Jeżeli R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia to mówimy, że jest równoważnościowa, wówczas można określić klasę abstrakcji elementu a R.

GRUPY

 

Niech X będzie dowolnym zbiorem z określonym działaniem *. Strukturę (x, *) nazywamy grupą, jeżeli:

1.  Dla każdego x, yX        x*yX  - działanie wewnętrzne,

2.  Dla każdego x, y, zX  (x*y)*z=x*(y*z) - działanie łączne

3.  Istnieje eX, dla każdego xX    e*x=x*e=x - element neutralny,

4.  Dla każdego xX, istnieje yX  x*y=y*x=e - element odwrotny (inwers),

5.  Dla każdego x, yX   x*y=y*x

 

Jeżeli dodatkowo zachodzi 5 to mówimy, że grupa jest grupą przemienną (abelową).

 

LICZBY ZESPOLONE

 

(a,b) * (c,d) = (Ac-bd, ad+bc)

dla k = 0, 1, ., n -1.

Postać trygonometryczna liczby z.:

- argument liczby zespolonej

WIELOMIANY

 

Zasadnicze tw. Algebry!

Każdy wielomian stopnia n>=1 o dowolnych współczynnikach zespolonych ma w dziedzinie zespolonej co najmniej jedno miejsce zerowe (jeden pierwiast.).

 

Rozkładanie wielomianu na czynniki rzeczywiste i zespolone

Przykład: w(x)=x⁴ + 1, x należy Z

X⁴=-1 ó x =

Liczymy ze wzoru na pierw. Zesp., potem z zasad. Tw. Algebry

 

Przykład ułamków prostych:

F. wymierne rozłożyć na sumy wiel. Oraz f. wym. właściw. np.:

P(x) : Q(X)=I(X)+R(X)/Q(x)

 

Przykład

Wzór na elementy zbioru

czyli z₀=(1+i)²=2i, z₁ ze wzoru.

 

MACIERZE

 

Transponowanie - zamiana wierszy na kolumny.

A_mxp*B_pxn=C_mxn - Mnożenie macierzy wiersz przez kolu.

macierz kwadratowa - o wym. nxn

macierz diagonalna (przekątniowa) - m. z zerami i główną przekątną

m. jednostkowa - n. diag., na głównej przekątnej są same 1

m. trójkątna dolna - wszystkie elementy "powyżej" przekątnej są zerami, górna - "poniżej" przekąt.

Jeżeli pi>pj dla i<j, to w permutacji istnieje inwersja.

Reguła Sorrusa tylko dla M2x2,3x3.

Jeżeli skreślając wybrane wiersze lub kolumny otrzymamy macierz M' wymiaru m'xn' to macierz nazyw. podmacierzą macierzy M.

Jeżeli podmacierz danej macierzy jest kwadratowa to jej wyznacznik nazywamy minorem danej mac.

Dopełnieniem algebraicznym wyrazu aij macierzy nazywamy licz:

Def. rekurencyjna wyznacznika

Tw. Laplace'a

Własności wyznaczników:

-Przestawienie dwóch wierszy zmienia wartość wyznacznika na przeciwko.

-wyzn. o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy 0.

-pomnożenie wiersza przez dowolną liczbę powoduje przemnożenie wartości wyzn. przez tą liczbę.

-jeżeli macierz jest trójkątna to wyznacznik jest równy iloczynowi elem. na głównej przekątnej.

-jeżeli w wyz. dowolnie wybrany wierz(kolumnę) pomnożymy przez dowolną liczbę i dodamy do innego wiersza (kolumny) to wyznacznik nie ulega zmianie.

Rządem macierzy nazyw. stopień największego, niezerowego minora.

 

Rząd nie ulega zmianie, jeżeli:

-pomnożymy wiersz (kolumnę) przez dowolną niezerową liczbę,

-przestawimy wiersz (kolumnę),

-dowolnie wybrany wiersz (kolumnę) pomnożymy przez dowolną liczbę i dodamy do innego wiersza (kolumny).

-skreślenie jednego z dwócj wierszy (kolumn) proporcjonal.

-skreślenie wiersza (kolumny) złożonego z samych zer.

 

Tw. do rzędów

Jeżeli A jest macierzą trójkątną to rząd macierzy A jest równy liczbie niezerowych elementów na głównej przekątnej.

 

Rozw. układów n-równań o n-niewiadom. - układy Cramera:

 

Rozwiązywanie układów m-równań o n-niewiadomych -

Tw. Kroneckera - Capellego!

A - macierz współczynnikowa

U - macierz uzupełniona

1)rzA≠rzU to układ sprzeczny (brak rozwiązań),

2)rzA=rzU ma rozw:

a) rzA=rzU=n (ilość niewiadomych) to dokładnie jedno rozw. (układ oznaczony),

b) rzA=rzU=r < n to nieskończenie wiele rozw. zależnych od (n-r) - param. (układ nieoznaczony).

 

Metoda rozw. układów równań lin:

Jeżeli rzA=rzU=r ≤ n to znajdujemy dowolny niezerowy minor stopnia r i rozpatrujemy układ r-równań o r-niewiadomych powstały przez opuszczenie tych równań, których współczynniki nie są elementami wybranego minora. Niewiadome, których współczynniki nie są elementami wybranego minora przenosimy do wyrazów wolnych i traktujemy jako parametry. Powstały układ jest układem Cramera.

 

Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A^-1 taką, że A*A^-1=A^-1*A=I

 

Tw. do macierzy odwrotnej

Jeżeli macierz kwadratowa A ma wyznacznik różny od zera to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna A^-1 postaci:

 , gdzie [A^D]^T - transponowana macierz dopełnień.

 

Niech A-macierz kwadratowa [A]_mxn. Liczbę λ należącą do R nazywamy wartością własną macierzy, jeżeli istnieje niezerowa macierz X=[(kolumna)x1 x2.xn) taka, że A X = λ X. Macierz X nazywamy wektorem własnym.

(A-λ)X = 0 - układ równań jednorodny i ma postać:

(a11- λ)x1+a12+.+a1n=0

 

Jest to układ, który posiada niezerowe rozw. ó gdy ma tych rozw. nieskończenie wiele, czyli gdy rząd (A- λ I)<n => det(A - λ I)=0 - równanie ch-tyczne

 

Tw. o wartości własnej

Liczba λ należąca do R jest wartością własną macierzy A ó det(A - λ I)=0.

 

Tw. Cayleya - Hamiltona

Każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. Tw. C.H. można zastosować do macierzy odwrotnej.

Przykład

jakaś macierz A, której wyznacznik jest niezerowy, liczymy det(A  - λ I) np. - λ³+3 λ²+6 λ-8 , a następnie mnożymy przez λ^-1 i otrzymujemy równanie na macierz odwrotną.

 

GEOMETRIA ANALIT. W R³

Działania na wektorach

Iloczyn skalarny wektorów

Tw. Jeżeli wektor x ≠0, w. y ≠ 0 to

 - ostatni wzór na długość wektora

Iloczynem wektorowym dwóch niezerowych wektorów X i Y nazywamy wektor oznaczony symbolem taki, że: 1) 2)

 

3) zwrot wektora jest tak dobrany , aby trójkąt wektorów x, y,  tworzyła układ o orientacji zgodnej z przyjętą orientacją układu współrzędnych.

 

Własności iloczynu wektorowego:

1) x × y = -y × x

2) x × (y + z) = (x × y)+(x × z)

3) L (x × y)=(Lx × y)=(x × Ly)

4) x × x=0

5) Jeżeli x=[x₁,y₁,z₁] i x=[x₂,y₂,z₂] to

Tw. Długość wektora  jest równa polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach x, y.

P=||

 

Równanie płaszczyzny

Napisać równanie płaszczyzny a przechodzącej przez ustalony punkt M₀=(x₀,y₀,z₀) i prostopadłej do ustalonego wektora n=[A,B,C] zwanego wektorem normalnym.

- równanie płaszczyzny Q

Ax+By+Cz+D=0 - ogólne równanie płaszczyzny po wykonaniu działań powyżej.

Przykład

Napisać rów. płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty:

obliczamy  ,a następnie to wyjdzie wstawiamy do wzoru za A,B,C ,a za x₀,y₀,z₀ współrzędne z punktu danego A.

 

Rów. prostej w przestrzeni R³

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

- postać krawędziowa prostej

rz    |A₁ B₁ C₁|   

       |A₂ B₂ C₂|    =    2

Kierunek prostej określa niezerowy wektor k równoległy do danej prostej zwany wktorem kierunkowym. Dla postaci krawędziowej u₁=[A₁, B₁, C₁]

u₂=[A₂, B₂, C₂] to k = u₁×u₂ określający kierunek prostej.

Wektor kierunkowy k=[a,b,c] i M₀=(x₀,y₀,z₀) określają tą prostą jednoznacznie.

- równanie parametryczne prostej t

 - rów. odcinkowe prostej (kierunk.)